Filsafat Pendidikan Matematika
Oleh:
Agnes Teresa
Panjaitan (18709251013)
Prof. Dr.
Marsigit, M.A
Makalah ini ditulis
untuk memenuhi tugas mata kuliah Filsafat
Pendidikan Matematika dengan Dosen Pengampu Prof. Dr.
Marsigit, M.A
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
2019
Pertemuan
Pertama : Persoalan-Persoalan Pokok dalam Pengembangan ilmu Matematika dan
Pendidikan Matematika
I. Latar
Belakang
Persoalan
adalah salah satu yang tidak dapat dihindari dari setiap aspek kehidupan.
Persoalan menurut KBBI adalah perbincangan, perdebatan, hal-hal yang menjadi
masalah atau problem. Untuk itu, dalam dunia pendidikan begitu banyak aspek
yang mendapatkan persoalan ataupun permasalahan. Namun permasalahan dapat
ditinjau atau diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu bagian ilmu atau
pendidikan yang tidak terlepas dari persoalan adalah matematika.
Matematika
adalah bidang ilmu yang mendapat julukan Queen
of Knowledge. Hal ini dikarenakan matematika adalah mata pelajaran yang dikenal dapat
berdiri sendiri. Matematika dengan ilmu pastinya memiliki keistimewaan dan
kebermanfaatan yang dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Namun, hal
ini tidak menjadi alasan bahwa matematika sebagai ilmu yang disukai oleh
manusia dan bukanlah suatu keharusan untuk menyukai matematika. Tetapi tidak
dipungkiri matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan manusia.
Matematika
secara lebih jauh dikenal dengan matematika murni dan pendidikan matematika.
Secara general kajian dari matematika murni membicarakan tentang keilmuan yang
secara nyata ada dalam teori, aksioma, konsep atau prosedur dalam matematika.
Pendidikan matematika mencakup teori dan penerapannya dalam pembelajaran
matematika. Meskipun masih dalam satu kajian yang sama, namun secara ruang dan
waktunya, matematika dan pendidikan matematika tidak bisa dikatakan sama.
Dalam
kajian filsafatnya terdapat perbedaan antara filsafat matematika dan filsafat
pendidikan matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk membahas tentang sifat dan
metodologi matematika dalam memamami posisi matematika dan peranannya dalam
kehidupan manusia. Beberapa para ahli
dan filsuf menyatakan bahwa filsafat matematika adalah bagian atau kepingan
matematika dapat disusun dan digabungkan menjadi asas dan filsafat matematika
adalah penyusunan kumpulan pengetahuan matematika yang kacau balau dan selama
berabad-abad yang lalu tersimpan dan memberikan makna tertentu.
Selain itu, filsafat matematika menelaah konsep-konsep
pembenaran terhadap asas-asas yang digunakan dalam matematika. Penelaahan lainnya adalah tentang
konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai
pembenaran terhadap pernyataan matematika.
Pada
kenyataannya, filsafat matematika merupakan bidang pengetahuan yang sangat
luas. Perincian ini mencakup problem-problem dan ruang lingkup filsafat ilmu
dalam penerapannya terhadap filsafat matematika dapat dan perlu diterbitkan
sehingga tercipta skema yang lebih sistematis dan memungkinkan pembahasan
selanjutnya yang lebih jelas. Penjabaran filsafat matematika akan memberikan
cakupan yang jelas tentang perbedaannya dengan filsafat pendidikan matematika.
Konteks
dari pendidikan matematika yang paling umum adalah pendidikan matematika
mempelajari tentang belajar dan pembelajaran matematika yang diajarkan di
sekolah dari berbagai jenjang yaitu SD-SMP-SMA, peruguruan tinggi bukanlah
sasaran pendidikan matematika karena konteks pelajarannya ialah ilmu murni. Sehingga
matematika menjadi salah satu pembelajaran yang menyulitkan siswa jika
matematika murni juga didalami dalam pembelajaran.
Filsafat
pendidikan matematika memiliki tujuan yang tidak kalah mulia dalam pendidikan.
Tujuan dari filsafat pendidikan adalah matematika hendaknya mencakup keadilan
sosial melalui pengembangan demokrasi pemikiran kritis dalam matematika.
Filsafat pendidikan matematika mengkaji
bagaimana interaksi teori atau konsep matematika berinteraksi dan berkaitan
satu dan yang lain dalam pembelajaran siswa.
Kedua
konsep ini akan memberikan gambaran
bahwa matematika merupakan ilmu yang mamiliki kaitan erat dengan masyarakat,
sehingga hal ini membuktikan bahwa
matematika dan pendidikan matematika memiliki permasalahan yang coba
dicari solusinya.Permasalahan-permasalahan yang ada dalam matematika dan
pendidikan matematika akan coba dijabarkan melalui tulisan ini yang merujuk
pada beberapa sumber kajian literatur.
II. RUMUSAN MASALAH
1. Apakah
yang menjadi persoalan matematika?
2. Apakah
yang menjadi persoalan pendidikan matematika?
III. ALUR PEMBAHASAN
Dalam
menulis kajian literatur ini, diperlukan adanya alur pembahasan yang berisi
mengenai beberapa hal yang akan dikaji dalam tulisan ini. Hal ini dapat dilihat
dari alur pembahasan yang penulis digambarkan dalam alur pembahasan berikut
ini:
 |
Gambar 1. Alur
Pembahasan
Sumber: Alur Pikir
Penulis
IV. PEMBAHASAN (Kajian Literatur)
A. SEJARAH MATEMATIKA
Untuk
mengetahui bagaimana perkembangan matematika, maka hal tersebut berhubungan
erat dengan sejarah matematika. Sejarah memberi urutan mengenai kejadian atau
teori-teori yang ada dalam dunia matematika. Sejarah memberikan cakrawala
pengetahuan tentang matematika secara lebih mendalam. Sejarah menunjukkan
bagaimana manusia mempelajari matematika. Pemahaman akan sejarah matematika
akan memberi pandangan baru dan dapat dijadikan salah satu objek yang menarik
dalam penelitian matematika.
Berdasarakan
ringakasan dari penjelasan yang terdapat pada (Ambar, 2011) Perkembangan
matematika telah didokumentasikan selama 70.000 tahun. Pada awalnya matematika
mencoba untuk menggunakan dan memahami waktu dan hal ini dimulai pada sekitar
3500 tahun yang lalu di Mesir. Selain itu matematika juga digunakan untuk
memahami masalah praktis yang berhubungan dengan aktivitas ekonomi dengan
perhitungan mengenai uang.
Selanjutnya
berkembang di sepanjang sungai Mesopotomia dan diteruskan serta diperluas di
negara Arab lalu ke belahan Eropa. Matematika menjadi salah satu faktor penting
dalam peradaban yang terjadi di dunia. Inovasi-inovasi dalam bidang matematika
memiliki sumbangsih yang cukup besar dan nyata pada zaman sekarang. Adapun perkembangan matematika dibagi dalam
beberapa tahap, yaitu:
·
Sebelum 1000 SM
Beberapa
teori yang cukup berkembang dalam dunia matematika pada masa ini adalah
mengenai Geometri yang secara harafiah memiliki arti pengukuran tentang bumi.
Geomeri adalah cabang matematika yang membahas hubungan didalam ruang. Secara
intuitif, manusia mengenali ruang dan karakteristiknya dan kemudian dikenal
sebagai aksioma dalam geometri. Sedangan Geometri euclidean adalah geometri
klasik yang memiliki lima postulat. Kemudian berkembang pula Geometri
Non-Euclidean dan bilangan prima, perkalian Mesir dan sistem angka dan beberapa
teori lainnya yang dapat dilihat pada timeline berikut.
Gambar 2. Timeline Matematika Sebelum 1000 M
Sumber: (Ambar, 2011)
·
1 Milenium SM
Beberapa teori atau konsep yang berkembang pada
zaman ini adalah: Fraksi yaitu mengenai konsep angka yang dinyatakan sebagai
rasio dan digunakan untuk menyatakan perbandingan antara bagian dan
keseluruhan. Kedua ialah persamaan kuadrat yang merupakan suatu persamaan
polinomial yang memiliki orde dua.
Kemudian ialah Bilangan irasional yang merupakan bilangan yang hasil
baginya tidak pernah berhenti.
Hiperbola juga muncul pada masa ini sejalan
dengan perkembangan matematika. Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan semua
titik yang perbedaannya dalam jarak kedua titikyang tetap (yang disebut fokus)
adalah konstan. Adapun timeline yang dapat dilihat dari perkembangan matematika
pada masa ini adalah:
Gambar 3. Timeline 1 Milenium SM
Sumber: (Ambar, 2011)
·
1 Milenium Masehi
Berikut adalah beberapa teori yang berkembang
pada masa 1 Milenium Masehi dalam sejarah matematika. Aljabar yang merupakan
cabang dari matematika yang memiliki ciri sebagai generalisasi dari bidang
aritmatika. Kemudian terdapat teorema Segi enam Pappus yaitu teori segi enam Pappus,
teorema Pappus centroid. Teorema Pappus Centroid merupakan teorema yang
terkenal dengan teorema Guldinus, Guldinus teorema Pappus atau Pappus teorema.
Teorema ini merupakan salah satu dari dua terkait
teorema berurusan dengan luas permukaan dan volume dari permukaan dan padatan
revolusi. Setelah itu terdapat Fungsi Kubik yang merupakan suatu fungsi dalam
bentuk polinomial tingkat tiga. Sistem angka Hindu Arab juga suatu posisi
desimal yang dikembangkan oleh matematikawan India yang diadopsi dari Persia.
Perhitungan ini kemudian menyebar ke dunia Barat pada abad pertengahan. Perkembangan
beberapa teorema pada masa ini dapat dilihat dari gambar berikut:
Gambar 4. Timeline 1 Milenium Masehi
Sumber:
(Ambar,
2011)
Pada
awal abad kedua puluh kita melihat kemajuan besar dalam matematika dan juga
dalam logika matematika dan dasar matematika dan sebagian besar isu-isu
fundamental dalam filsafat matematika dapat diakses oleh siapa saja yang akrab
dengan geometri dan aritmatika dan yang telah memiliki pengalaman mengikuti
matematika bukti (Marsigit, 2012).
Masih
menurut Marsigit (Marsigit, 2012) Beberapa perkembangan filosofis paling penting dari
abad kedua puluh itu dipicu oleh perkembangan yang mendalam yang terjadi dalam
matematika dan logika, dan apresiasi yang tepat dari masalah ini hanya tersedia
bagi seseorang yang memiliki pemahaman tentang teori himpunan dasar dan
menengah logika. Untuk membahas falsafah matematika pada tingkat lanjutan yang
benar-benar harus memeriksa gagasan yang mencakup bukti dari teorema
ketidaklengkapan Gödel 's serta membaca tentang berbagai topik dalam filsafat
matematika
B. PERSOALAN-PERSOALAN POKOK MATEMATIKA
Perbedaan
matematika murni dan pendidikan matematika murni terletak pada kajian ilmunya.
Matematika murni mengkaji tentang ilmu matematika secara mendalam, beberapa
persoalan matematika yang penulis kutip dari berbagai sumber adalah sebagai
berikut:
·
Konjektur Goldbach
Konjektur Goldbach (dalam Adjie, 2013) yang dicetuskan
oleh ahli matematika Christian Goldbach. Goldbach menyatakan bahwa: “Setiap
bilangan genap lebih dari 2 selalu merupakan hasil pemjumlahan dari 2 bilangan
prima“. Walaupun pernyataan ini sederhana, tetapi belum ada seorang pun yang
dapat memecahkan pendapat ini. Sehingga sampai sekarang pernyataan ini masih
dianggap benar.
·
Bilangan sempurna semu (QuasiPerfect
numbers)
Bilangan sempurna semu
(QuasiPerfect numbers) adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari
penjumlahan faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Jadi, bilangan
sempurna semu mirip dengan bilangan sempurna, bedanya pada bilangan sempurna
semu kita menghilangkan 1 dari penjumlahan faktor-faktornya. Sampai sekarang
tidak diketahui apakah bilangan sempurna semu itu ada atau tidak. Para
Matematikawan percaya, jika bilangan sempurna semu itu ada haruslah lebih besar
dari 1035 dan mempunyai 7 faktor prima berbeda.
·
Masalah Millenium
Masalah millenium berdasarkan
Clay Mathematics institute (CMI, 2019) adalah tujuh
masalah dalam matematika yang dinyatakan oleh Clay Mathematics Institute pada
tahun 2000. Pada Juli 2012, enam dari masalah tetap belum terpecahkan. Sebuah
solusi yang benar untuk salah satu hasil masalah dengan hadiah US $ 1.000.000
(kadang-kadang disebut Hadiah Millenium) yang diberikan oleh lembaga ini.
Konjektur Poincaré, Masalah Millenium hanya untuk dipecahkan sejauh ini, telah
dipecahkan oleh Grigori Perelman, namun ia menolak penghargaan pada tahun 2010.
Tujuh Masalah Millenium
adalah :
ü Konjektur
Birch dan Swinnerton-Dyer
ü Keberadaan
dan Kelancaran Navier-Stokes
ü Masalah
P versus NP
ü Hipotesis
Riemann
ü Konjektur
Hodge
ü Yang-Mills
dan Selisih Massa
ü Konjektur
Poincaré (terpecahkan)
Berdasarkan
persoalan-persoalan yang dijabarkan diatas, persoalan matematika yang ada
adalah mengenai kebenaran suatu teori matematika yang membutuhkan bukti-bukti
secara empiris. Sifat absolut matematika bukanlah suatu bukti bahwa matematika
sebagai bidang ilmu pasti tidak membebaskan matematika dari permasalahan
mengenai kebenaran teori yang ada.
C.
PERSOALAN-PERSOALAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Matematika
adalah salah satu mata pelajaran wajib yang dipelajari disekolah dari jenjang
sekolah dasar hingga sekolah menengah atas. Untuk itu, permasalahan dalam dunia
pendidikan matematika akan berhubungan erat dengan praktisi pendidikan,
pemangku kebijakan, kebijakan dan siswa.
Konsep merupakan jenis materi pelajaran yang sangat
mendasar dalam matematika sekolah. Salah satu kegunaan konsep dalam matematika
adalah menarik konklusi secara deduksi. Dan ini merupakan kegunaan yang utama
dalam matematika, karena matematika bersifar deduksi (Soedjadi, 2001). Konsep dalam
matematika adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang untuk dapat
mengklasifikasikan suatu objek atau kejadian serta menerangkan apakah objek
atau kejadian tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide tersebut.
Dalam matematika pada umumnya disusun dari konsep konsep terdahulu (Hasrattudin, 2008).
Konsep dalam matematika sendiri
merupakan konsep yang dikenal abstrak, sehingga diperlukan inovasi oleh guru
untuk dapat menanamkan konsep yang abstrak tersebut dalam pemikiran siswa.
Misalnya konsep operasi pecahan, konsep luas, konsep bangun ruang, konsep
bangun datar, dan lain sebagainya. Konsep juga akan memberikan pengaruh
terhadap sikap kreatif.
Konsep abstrak yang sulit dipahami
siswa kemudian menjadi lebih buruk ketika metode ataupun model pembelajaran
yang masih bersifat konvensional ataupun tradisional dimana pembelajaran
berpusat pada guru. Menurut Armanto (dalam Herman, 2011) Tradisi
mengajar seperti ini merupakan karakteristik umum bagaimana guru melaksanakan
pembelajaran di Indonesia.
Pembelajaran matematika konvensional
bercirikan: berpusat pada guru, guru menjelaskan matematika melalui metode
ceramah (chalk-and-talk), siswa pasif, pertanyaan dari siswa jarang muncul,
berorientasi pada satu jawaban yang
benar, dan aktivitas kelas yang sering dilakukan hanyalah mencatat atau
menyalin. Akibatnya siswa menjadi kurang aktif dan pembelajaran merupakan suatu
hal yang membosankan bagi siswa, sehingga dapat menurunkan motivasi belajar dan
inisiatif siswa untuk bertanya dan mengungkapkan ide. Karenanya kemampuan guru dalam memilih metode
mengajar merupakan hal penting dalam kegiatan belajar mengajar.
Kekurangan guru dalam memilih metode
mengajar bisa menjadi salah satu penyebab kurang baiknya hasil belajar siswaTidak
dapat dipungkiri bahwa sebagian besar guru berpandangan mengenai proses belajar
mengajar adalah proses mengalihkan ilmu pengetahuan guru kepada siswa (gambar
1). Sehingga hal ini menjadikan siswa hanya mendengar, membaca kemudian
menghafal.
Dalam matematika ketika hal ini
menjadi kebiasaan, maka siswa akan mudah melupakan dan tidak memahami esensi
dari matematika. Dengan demikian muncul suatu pendekatan saintifik yang
diharapkan mampu menjadikan siswa sebagai pusat pembelajaran. Pendekatan
saintifik memiliki beberapa keunggulan yang dianggap mampu mengaktifkan siswa.
peserta didik secara
aktif mengkonstruksi konsep, hukum atau prinsip melalui tahapan-tahapan
mengamati, merumuskan masalah, mengajukan atau merumuskan hipotesis,
mengumpulkan data dengan berbagai teknik, menganalisa data, menarik kesimpulan
dan mengomunikasikan konsep, hukum atau prinsip yang ditemukan. Perbandingan antar metode konvensional dan saintifik
(siswa mengkonstruksi pengetahuan mereka sendiri) dapat dilihat pada gambar
berikut:
Gambar 5. Ilustrasi perbedaan
pembelajaran tradisional dan inovatif
Sumber: (Marsigit, 2013)
Berdasarkan ilustrasi gambar diatas
dapat dilihat bahwa perbedaan antara pembelajaran tradisional adalah pusat
pembelajarannya. Pada pembelajaran tradisional guru yang aktif melakukan
kegiatan, siswa hanya terpaku pada penjelasan guru, sedangkan untuk
pembelajaran konstruktifisme yang menjadi acuan pendekatan saintifik diibarkan
seperti pohon yang terus bertumbuh dan berkembang sehingga menghasilkan buah
yang baik.
Masalah lainnya yang harus dihadapi
dalam dunia pendidikan adalah masalah prestasi belajar siswa. Prestasi belajar
yang dicapai siswa dapat dipengaruhi oleh dua faktor yaitu faktor internal dan
eksternal (Slameto, 2003, p.
54)
. Penyebab utama kesulitan belajar (learning disabilities) adalah faktor
internal yaitu diantaranya minat, bakat, motivasi, tingkat intelegensi,
sedangkan penyebab utama problema belajar (learning problems) adalah faktor
eksternal antara lain berupa strategi pembelajaran yang keliru, pengelolaan
kegiatan belajar 1 2 yang tidak membangkitkan motivasi belajar anak, maupun
faktor lingkungan keluarga, masyarakat yang sangat berpengaruh pada prestasi
belajar yang dicapai oleh siswa.
Faktor
internal ini telah dibahas sebelumnya oleh teori sosial kognitif bandura yang
menyatakan bahwa kepercayaan diri siswa (yang ada pada masing-masing siswa
dengan tingkat yang berbeda telah menghasilkan suatu usaha dan ketahanan (Bruning, Schraw,
& Norby, 2011, p. 107). Artinya jika kepercayaan diri siswa dalam kategori
tinggi maka akan menghasilkan ketahanan siswa dan akan meningkatkan usaha siswa
sesulit apapun materi yang mereka pelajari dalam matematika.
Faktor internal lain merupakan
motivasi dan keyakinan siswa. Menurut (Perry, Turner, J,
& Meyer, 2006)
Motivasi dan keyakinan siswa berintegrasi dengan kognisi siswa. Dalam cakupan kognisi psikologi memperluas
hal ini sebagai kedewasaan yang ada dalam diri siswa. Hal ini memiliki kaitan
dengan cara siswa merespon instruksi yang diberikan dalam pelajaran. Disadari
atau tidak bahwa dalam pembelajaran guru tidak membiasakan diri dalam
memberikan motivasi dan meningkatkan kepercayaan diri siswa. Padahal hal
tersebut merupakan salah satu kunci keberhasilan dalam pembelajaran matematika.
Masalah lainnya yang juga ditemui
dalam pembelajaran matematika adalah buku sebagai sumber belajar siswa.Menurut
Maya Saroh (Saroh, 2013) pada buku yang ditelitinya yaitu BSE-matematika
kelas VII bahwa ada beberapa sub bab yang tidak menggunakan masalah seharihari
dalam pengenalan materinya. Disebutkan pula bahwa masih ada materi yang tidak
dijelaskan secara kontekstual. Ketika
buku masih sulit untuk dipahami oleh siswa maka yang terjadi adalah
siswa menjadi semakin malas untuk belajar. Dilain sisi, buku adalah sumber
utama yang secara umum dipakai dalam proses pembelajaran.
Dari
segi pendidikan, kebijakan yang ada pada dunia pendidikan memberikan sumbangsih
yang besar. Kurikulum berfungsi
sebagai pedoman dalam pelaksanaan kegiatan pendidikan di sekolah bagi
pihak-pihak yang terkait, baik secara langsung maupun tidak langsung, seperti
pihak guru, kepala sekolah, pengawas, orangtua, masyarakat dan pihak siswa itu
sendiri (Kurniaman &
Noviana, 2017).
Sehingga kurikulum mengalami perubahan untuk menyesuaikan kebutuhan dan
karakter siswa.
Perubahan kurikulum memiliki tujuan yang baik
dalam pembelajaran, namun akan menjadi persoalan ataupun permasalahan apabila
guru, yang berperan dalam pembelajaran secara langsung, tidak dilibatkan
pandangannya dan tidak dilakukan pelatihan dalam mengimplementasikan perubahan
yang terjadi. Dampaknya ialah pembelajaran tidak berjalan dengan lancar
sebagaimana mestinya, dan terjadinya penolakan atau protes seperti petisi dari
praktisi pendidikan itu sendiri.
Perkembangan yang menjadi salah satu
langkah yang dimbil oleh pemangku kebijakan dan dianggap sebagai suatu solusi
yang cukup efektif dalam menyelesaikan berbagai persoalan dalam pendidikan
matematika. Kebijakan yang dibuat dalam mengganti kurikulum dipertimbangkan
karena beberapa aspek yang dipertimbangkan. Pertimbangan-pertimbangan yang
dilakukan tentu tidak bisa disetujui dengan mudah oleh beberapa pihak. Sehingga
perubahan-perubahan acapkali terjadi dalam kurikulum di Indonesia.
Perubahan-perubahan kurikulum di
Indonesia sendiri tercatat sudah sebanyak 11 kali. Hal ini dapat dilihat pada
gambar 2 (timeline perubahan
kurikulum di Indonesia.
Gambar 6. Perkembangan Kurikulum di
Indonesia.
Sumber:(Gerakan Menulis Buku Indonesia,
2018)
IV. Kesimpulan dan Saran
A. Kesimpulan
Beberapa pembahasan yang ada pada tulisan ini
hanyalah segelintir dari permasalah matematika ataupun pendidikan matematika di
Indonesia. Jika diamati persoalan bukan hanya milik pemerintah, tetapi juga
guru dan praktisi pendidikan dan siswa. Apabila
dalam setiap permasalahan terjadi penempatan/kesesuaian ruang dan waktu maka
permasalahan mungkin akan lebih dapat diminimalisir.
B. Saran
Permasalahan
dan persoalan yang ada juga sebaiknya
tidak membuat pihak satu dengan yang lain tetapi menjadi tanggung jawab
bersama. Dalam hal ini perlu adanya konsep hermeneutika seperti yang ada dalam
dunia filsafat yaitu diterjemahkan dan menerjemahkan.
Pertemuan
Kedua : Persoalan-Persoalan Pokok dalam Pengembangan ilmu Matematika dan
Pendidikan Matematika
I. Latar Belakang
Salah
satu peribahasa yang populer ataupun digunakan di Indonesia adalah “tuntutlah
ilmu sampai kenegeri Cina?” hal tersebut dimaknai dengan pentingnya ilmu yang
bila perlu harus sampai ke negeri lain, tidak peduli akan jaraknya. Kebermanfaatan
ilmu sendiri sudah diketahui oleh masyarakat. Mulai dari anak-anak yang sudah
disekolahkan dengang wajib belajar
sembilan tahun, kemunculan sekolah-sekolah dengan status bergengsi, dan
dibukanya instansi kursus ataupun bimbingan belajar.
Secara
umum, ilmu dianggap suatu alat yang dapat membantu manusia untuk meningkatkan
kualitas hidup, mempertahankan keberlangsungan kehidupan yang manusia miliki,
dan secara ekstrim dianggap sebagai suatu prestige
yang menjadi ajang perbedaan manusia yang satu dengan yang lain. Memandang ilmu
berdasarkan peranan dan fungsinya tentu menjadi hak siapapun, apakah penting
atau kurang penting.
Setelah
mengetahui peranan ilmu yang penting bagi manusia, maka bermacam-macam cara
dilakukan oleh manusia untuk mendapatkan ilmu yang dianggap dibutuhkan. Salah
satunya ialah ilmu matematika. Matematika sebagai ratunya bidang ilmu
mendapatkan tempat istimewa pada sebagian masyarakat. Matematika sebagai bagian
dari ilmu, terkhusus ilmu pengetahuan menjadi mata pelajaran yang diupayakan
untuk dapat dipahami oleh para pembelajar.
Di
lain sisi, matematika sebagai keilmuan memiliki karakteristik yang harus
diperhatikan. Dengan memahami karakterisik ilmu matematika, maka proses
pembelajaran matematika akan berjalan dengan lebih efektiv dan lancar. Untuk
itu, dalam tulisan ini penulis akan mencoba menjabarkan mengenai karakteristik
ilmu matematika dan ilmu pendidikan matematika. ilmu matematika dan ilmu
pendidikan matematika memiliki ciri ataupun karakter yang berbeda. Selanjutnya
akan dibahas dalam tulisan ini yang dikutip dari berbagai sumber.
II. RUMUSAN MASALAH
1.
Apakah definisi ilmu ditinjau dari berbagai aspek?
2.
Bagaimanakah sejarah ilmu matematika dan Filsafat matematika?
3.
Apakah karakteristika dari ilmu matematika dan ilmu pendidikan matematika?
III. ALUR PEMBAHASAN
Gambar 7. Alur
Pembahasan
Sumber: Alur Pikir
Penulis
IV. Pembahasan (Kajian Literatur)
A. Definisi Ilmu
Sebelum memasuki lebih jauh mengenai definisi ilmu,
di negara Amerika pada tahun 1995 terjadi perdebatan besar dimana ajaran kitab
suci adalah pegangan yang cukup kuat sebelum ilmu pengetahuan menguasai pola
pikir di negara tersebut. Bahkan, ilmu tentang terciptanya semesta dilarang
diajarkan di sekolah karena dianggap bertentangan dengan ajaran kitab suci.
Dilain pihak, para ahli tidak mempercayai kitab suci tanpa mengetahui sendiri
prosesnya (Bird, 1998)
Puluhan tahun sebelumnya, Scopes (dalam Malicha, 2018) melakukan percobaan dan pengamatan tentang evolusi
yang dikenal dengan percobaan Monkey. Scopes kemudian dinyatakan bersalah dan
dihukum karna melakukan percobaan dan mengajarkan hasil percobaan tersebut ke
sekolah-sekolah. Scopes dianggap melanggar hukum yang sudah dicetuskan bahwa
tidak boleh ada ilmu yang bertentangan dengan agama oleh para fundamentalisme
kristiani.
Keadaan berubah ketika pada tahun
1957 diluncurkan satelit buatan yang dinamakan Sputnik. Satelit ini menjadi bukti bahwa ilmu adalah sesuatu yang
penting dan akan terus berkembang, hal ini kemudian disadari oleh
Fundamentalisme kristiani. Pada perkembangannya, proses ilmu yang bebas dan
berkembang tidaklah dianggap mudah.
Ilmu adalah hal sistematis yang membangun dan
mengatur pengetahuan dalam bentuk penjelasan serta prediksi yang dapat diuji
melalui metode ilmiah tentang alam semesta(Mirriam Webster
Dictionary, 2019).
Apakah bumi datar atau bulat dapat diuji secara ilmiah. Apakah hal itu
mendukung teori bumi itu bulat atau datar dapat diuji dan dipelajari dengan
pelitian yang akan memberikan bukti dari suatu permasalahan. Tujuan dalam
penelitian memiliki pendekatan yang berbeda dan bervariasi (Carpi, A & Egger,
2011)
Ilmu adalah suatu hal yang berbeda dari
pengtahuan. Hal ini menjadi pandangan umum bahwa ilmu dan pengetahuan adalah
hal yang serupa. Namun ternyata, ilmu dan pengetahuan adalah dua hal yang
berbeda. Ilmu adalah sesuatu yang dihasilkan dari pengetahuan ilmiah yang
berawal dari perpaduan proses berpikir deduktif (rasional) dan induktif
(empiris), sedangkan pengetahuan adalah hasil aktivitas manusia (subyek) yang
mempunyai kesadaran untuk mengetahui obyek yang dihadapinya sebagai sesuatu yang
ingin dikenal dan diketahui (Malicha, 2018)
Berikut
adalah tabel perbedaan antara ilmu dan pengetahuan:
Tabel 1. Perbedaan ilmu dan
pengetahuan
Ilmu
|
Pengetahuan
|
|
Karakteristik
|
Memiliki
sistem yang sudah tersusun secara sistematis
|
Belum
tersusun secara sistematis
|
Jangkauan
|
Lebih
Luas
|
Tidak
terlalu luas
|
Metode
Pembuktian
|
Bersifat
Objektif
|
Bersifat
subjektif
|
Objek
yang disampaikan
|
Telah
diuji dan dikaji
|
Belum
diuji dan dikaji
|
Kebenaran
|
Harus
bersifat umum dan universal
|
Sesuai
pemahaman sekelompok orang
|
Sumber
:(Apaperbedaan.com,
2017)
B. Perkembangan dan Filsafat
Matematika
Berdasarkan lia dalam websitenya (Nuriasih Lia, 2012) berikut adalah sejarah singkat matematika dan
filsafat matematika:
·
Perkembangan Matematika
Sebelum zaman modern dan penyebaran
ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan
matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika
terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematika Babilonia sekitar
1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan
Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM).
Semua
tulisan membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua
dan paling tersebar luassetelah aritmetika dasar dan geometri. Sumbangan
matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan
penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan
perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" itu sendiri
diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti "mata
pelajaran".
Matematika Cina membuat sumbangan
dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan
penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui
kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah
diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada
gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban
ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian
diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah padapengembangan matematika
lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan,
ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abadkemandekan.
Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika
baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan
eksponensial yang berlanjut hingga kini.
·
Filsafat Matematika
Filsafat matematika
adalah segenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan mengenai segala
hal yang menyangkut landasan matematika serta hubungan matematika dengan segala
segi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pamgkal,
anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
Sampai sekarang para
filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apasesungguhnya matematika
itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan, namun banyak pula
sanggahannya. Filsafat matematika adalahcabang dari filsafat yang mengkaji
anggapan-anggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika.
Tujuan dari filsafat
matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan
untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan
terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di
antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.
Secara lebih luas,
berikut sintesis hubungan antara aliran filsafat yang ditulis oleh Marsigit
dalam blog power math.
Gambar
8. Hubungan Aliran Filsafat Ilmu dan Filsafat Matematika
Sumber:
(Marsigit, 2014)
·
Tokoh-Tokoh
Filsuf Matematika
Beberapa Tokoh Besar
dalam filsafat matematika dunia disadur dari tulisan Sridayani (Sridayani, 2015), yaitu:
1. Thales
(624-550 SM)
Thales merupakan
seorang ahli filsafat. Pada zamann tersebut para filsuf mempelajari matematika,
astronomi, fisika dan ilmu pengetahuan alam. Thales lahir di Yunani kemudian
memperdalam ilmunya ke Mesir. Thales mencoba mengukur tinggi paramida dengan
konsep kesebangunan dan memprediksi waktu peredaran matahari. Hal ini menjadi
penyebab bahwa Thales Bapak awal ilmu Matematika dan Astronomi.
2. Pythagoras
Pythagoras tidak hanya
terkenal sebagai seorang filsuf namun ia juga menghabiskan waktuna dengan
mempelajari musik dan juga bidang ilmu lainnya. Dilahirkan di Yunani,
Pythagoras pergi ke Mesir dan Babylonia untuk menimba ilmu. Beberapa postulat
dan aksioma yang sudah dicetuskan oleh Pythagoras mengenai pengembangan
geometri. Pythagoras semakin terkenal dengan dalil yang menerangkan bahwa dalam
suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat
sisi-sisi lainnya. Perhitungan sudut-sudut dalam segitiga ini diperoleh dalam
persamaan a2 + b2 = c2.
Persamaan ini kemudian
digunakan pertama kali oleh perentang tali yang ada di Mesir untuk tanah dan
tali-tali bersimpul. Penemuan Pythagoras ini terjadi saat sang Filsuf mengamati
susunan lantai bersegitiga di rumah salah seorang temannya.
3. Socrates (427-347
SM)
Socrates merupakan
filsuf besar yang berasal dari Yunani. Ajaran yang dikemukakan oleh Socrates
banyak dipengaruhi oleh kaum Sofis. Ia merupakan akhli pikir pertama yang
menerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265
SM)
Ecluidis mungkin tidak
seterkenal atau sepopuler filsuf laiunnya, namun beliau dianugrahkan sebagai
“Bapak Geometri” karena keterlibatannya dalam teori bilangan dan geometri.
Beberapa yang dibahas oleh Ecluides diantaranya ialah : bentuk-bentuk, teorema Pythagoras,
persamaan yang ada dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori
proporsi, dan lain sebagainya. Alat yang merupakan temuan dari Ecluides antara
lain ialah mistar dan jangka.
5. Archimedes (287-212
SM)
Archimedes merupakan
salah satu ilmuan yang menggabungkan prinsip fisika dan matematika. Beliau
menemukan perhitungan π (pi) untuk menghitung luas lingkaran.
Archimedes merupakan ahli matematika terbesar sepanjang masa. Karya-karya yang
dihasilkan oleh Archimedes berkenaan tentang geometri bidang datae, pengukuran
lingkaran serta kuadratur parabola dan spiral.
6. Appolonius (262-10
SM)
Appolonius menggunakan
konsep tentang parabola, hipernppla dan elips pada astronomi modern. Keahliam
yang beliau miliki ialah dalam bidang Geometri dan menghubungkan beberapa unsur
yang ada dalam segitiga.
7. Diophantus (250- 200 SM)
7. Diophantus (250- 200 SM)
Diophantus terkenal
sebagai Bapak Aljabar yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Karya
besar yang dihasilkan oleh Diophantus ialah buku aritmatika, buku karangan pertama
yang berisi mengenai sistem aljabar.
8. Rene Deskartes
(156-1650 M)
De cartes memperlihatkan
dalam karyanya La geometria bahwa sepasang garius lurus yang berpotongan
digunakan dalam memperlihatkan posisi titik pada sebuah bidang untuk menghormatinya.
Konsep ini kemudian menghasilkan sistem koordinat cartesius dengan sistem
tersebut dan menghasilkan matematika baru berupa geometri analitik.
9. Leonhard Euler
(1707-1783 M)
Euler juga merupakan
ahli matematika yang terkemuka di sepanjang masa. Kalkulus dan Geometri banyak
mencatat hasil pemikiran Euler, salah satu yang paling utama adalah topik
topologi.
10. John Napier
(1550-1617 M)
Ide yang dikemukakan
oleh John Napier adalah tentang logaritma. John Napier adalah filsuf sekaligus
seorang bangsawan yang berasal dari Merchiston. Dengan penemuannya dalam topik
algoritma telah memberikan kemudahan dalam perhitungn bilangan bilangan besar.
11. Carl F Gauss
(1777-1855 M)
Setelah Archimedes dan
Newton, gaus merupakan ahli matematika yang terkenal pada zamannya. Tidak hanya
itu, pada umur sepuluh tahun, Gaus telah menimbulkan kekaguman pada
guru-gurunya dan meminta Gaus menyelesaikan deret 1+2+3+...+100.
Bila diurutkan dalam
urutan waktu dan konsep atau prinsip matematika dari beberapa tokoh diatas,
dapat disederhanakan pada alur timeline berikut:
Thales Socrates
Archimedes Diophantus L Euler Carl F Gauss
(625-550
SM) (427-347 SM) (287-212 SM)
(250-200SM) (1707-1783 M)(1777-1855 M)
 |
 |
 |
|||||||||
|
 |
|
|||||||||
 |
Phytagoras Ecluides
Appolonius Rene D
John Napier
(582-496 SM) (325-265 SM) (262-190 SM) (1596-1650M) (1550-1617 M)
Gambar 9. Tokoh Filsafat
Matematika Dunia
Sumber: www.google.com
C.
Karakteristik Ilmu Matematika dan Pendidikan Matematika
·
Karakteristik
Matematika
Berikut
ini beberapa ciri-ciri atau karakteristik matematika secara umum adalah sebagai
berikut (Sumardyono, 2004, p.
30)
1.
Memiliki objek kajian abstrak
Dalam
matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut
objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi
(1) fakta, (2) konsep, (3) operasi ataupun relasi dan (4) prinsip. Dari objek
dasar itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika.
2.Bertumpu
pada kesepakatan
Dalam
matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat
mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk
menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif
diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian.
3.
Berpola pikir deduktif
Matematika
merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori
atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah
dibuktikan secara deduktif.
4.
Memiliki simbol yang kosong dari arti
Dalam
matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik berupa
huruf ataupun bukan huruf rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat
membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan, bangun geometrik tertentu, dsb. Huruf-huruf yang dipergunakan
dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum tentu bermakna atau berarti
bilangan, demikian juga tanda (+) belum tentu berarti operasi tambah untuk dua
bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang
mengakibatkan terbentuknya model itu.
5.
Memperhatikan semesta pembicaraan
Semesta
pembicaraan adalah lingkup pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun ada atau
tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta
pembicaraannya.
6.
Konsisten dalam sistemnya.
Dalam
matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama
lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain.
Misal dikenal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan
sistem geometri tersebut dipandang terlepas satu sama lain, tetapi di dalam
sistem aljabar sendiri terdapat sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama
lain.
·
Karakteristik Pendidikan Matematika
Disisi lain Matematika yang diajarkan di jenjang
persekolahan (pendidikan matematika)
yaitu Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Umum disebut
Matematika Sekolah. Sering juga dikatakan bahwa Matematika Sekolah adalah
unsur-unsur atau bagian-bagian dari Matematika yang dipili berdasarkan atau berorientasi
pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK.
Matematika yang dipilih adalah matematika yang dapat
menata nalar, membentuk kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan
masalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal tersebut menunjukkan bahwa
Matematika Sekolah tidaklah sepenuhnya sama dengan Matematika sebagaiilmu.
Dikatakan tidak sepenuhnya sama karena memiliki perbedaan antara lain dalam hal
(1) penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, dan (4) tingkat
keabstrakan.
1. Penyajian Matematika
Penyajian atau pengungkapan butir-butir Matematika
di Sekolah disesuaikan dengan perkiraan perkembangan intelektual peserta didik.
Mungkin dengan mengaitkan butir yang akan disampaikan dengan realitas di
sekitar siswa atau disesuaikan dengan pemakaiannya. Jadi penyajian tidak langsung
berupa butir-butir Matematika.
2. Pola Pikir Matematika
Telah dikemukakan bahwa pola pikir matematika
sebagai ilmu adalah deduktif. Sifat atau teorema yang ditentukan secara
induktif ataupun empirik kemudian dibuktikan kebenarannya dengan
langkah-langkah deduktif sesuai strukturnya. Tidaklah demikian halnya dengan
matematika sekolah. Meskipun siswa pada akhirnya diharapkan mampu berfikir
deduktif namun dalam proses pembelajarannya dapat digunakan pola pikir induktif.
Pola pikir induktif yang
digunakan
dimaksudkan untuk menyesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual siswa.
3. Keterbatasan Semesta
Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen
matematika sekolah dengan memperhatikan aspek kependidikan, dapat terjadi
“penyederhanaan” pada konsep matematika yang kompleks. Pengertian semesta
pembicaraan tetap
diperlukan
namun mungkin sekali lebih dipersempit. Selanjutnya semakin meningkat usia
siswa, yang berarti meningkat juga tahap perkembangannya, maka semesta itu berangsur
lebih diperluas lagi.
4. Tingkat Keabstrakan
Sifat abstrak objek matematika ada pada matematika sekolah.
Hal itu merupakan salah satu penyebab sulitnya. Seorang guru mengajarkan
matematika sekolah. Seorang guru matematika harus berusaha mengurangi sifat
abstrak dari objek matematika itu sehingga memudahkan siswa menangkap pelajaran
matematika di sekolah.
V.
Kesimpulan Dan Saran
A.
Kesimpulan
Matematika (matematika murni) dan pendidikan matematika (matematika
sekolah) memiliki pertimbangan yang berbeda. Oleh karena itu, dalam kajiannya
matematika dan matematika murni tidak bisa disamakan.
B. Saran
Perbedaan karakteristik dari ilmu matematika murni dan matematika sekolah
(pendidikan) sebaiknya dipahami dengan baik oleh guru, agar proses pembelajaran
berjalan dengan lancar.
Daftar Pustaka
Adjie, D. (2013). Dimas Adjie Post. Retrieved January 1,
2019, from https://dimasadji4.wordpress.com/2013/07/08/persoalan-matematika-yang-belum-terpecahkan/
Ambar. (2011). No Title. Retrieved January 12, 2019, from
https://www.google.com/search?safe=strict&rlz=1C1XBRQ_enID810ID810&biw=1366&bih=626&tbm=isch&sa=1&ei=6Tg7XJzfGsyw9QPcv5rYDA&q=timeline+sejarah+matematika&oq=timeline+sejarah+matematika&gs_l=img.3...6944.11526..12044...1.0..0.225.1389.3j8j1......1....1..gws-wiz-img.CECa0eYTcwY#imgrc=gV8I_jCrv2oHYM:
Apaperbedaan.com. (2017). Apa Perbedaan Ilmu dan Pengetahuan.
Retrieved January 5, 2019, from https://apaperbedaan.com/ilmu-dan-pengetahuan/
Bird, A. (1998). Philosophy of Science. University
College London: UCL Press.
Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive
Psychology and instruction (Fifth). Boston: Pearson Education.
Carpi, A & Egger, A. E. (2011). “The Nature of Scientific
Knowledge” Visionlearning. 3 (2). Science: definition of science in Mirriam
Webster Online Dictionary. https://doi.org/https://www.merriam-
webster.com/dictionary/science?utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld
CMI. (2019). Millennium Problems. Retrieved January 5, 2019,
from http://www.claymath.org/millennium-problems
Gerakan Menulis Buku Indonesia. (2018). Perkembangan
Kurikulum di Indonesia hingga Kurikulum 2013 (K13). Retrieved January 5, 2019,
from
https://gmb-indonesia.com/2018/05/20/perkembangan-kurikulum-di-indonesia-hingga-kurikulum-2013-k13/
Hasrattudin. (2008). Permasalahan Pembelajaran Matematika
Sekolah dan Alternatif Pemecahannya. Pythagoras, UNY, 4(1), 67–73.
Herman, T. (2011). Membangun Pengetahuan Siswa Melalui
Pembelajaran Berbasis Masalah.
Kurniaman, O., & Noviana, E. (2017). Penerapan Kurikulum
2013 Dalam Meningkatkan Keterampilan, Sikap, dan Pengetahuan. Jurnal Primary
, UNRI, 6(2), 389–396.
Malicha, L. N. (2018). Hakikat Ilmu dan Pengetahuan. Research
Gate, (August).
Marsigit. (2012). Sejarah Dan Filsafat Matematika.
Yogyakarta. Retrieved from http://staffnew.uny.ac.id/upload/131268114/pengabdian/sejarah-dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012.pdf
Marsigit. (2013). Philosophy, Psychology, Spiritual, Math
Education, Lesson Study, Indonesia: Prof Dr Marsigit MA. Retrieved January 5,
2019, from https://powermathematics.blogspot.com
Mirriam Webster Dictionary. (2019). Mirriam Webster.
Retrieved January 5, 2019, from
webster.com/dictionary/science?utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld
Nuriasih Lia. (2012). KuPakaiMathUntukBerhitung. Retrieved
January 7, 2019, from
http://ku-mathitung.blogspot.com/p/sejarah-matematika.html
Perry, N., Turner, J, C., & Meyer, D. (2006). Classroom
as Context for Motivating Learning. Mahwah: Erlbaum.
Saroh, M. (2013). Analisis Buku BSE-Matematika Kelas VII.
Slameto. (2003). Belajar dan Faktor-Faktor yang
Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta.
Soedjadi, R. (2001). Nilai Nilai dalam Pendidikan
Matematika dan Upaya Pembinaan Pribadi Anak Didik. Surabaya: Unesa.
Sridayani. (2015). Matematika. Retrieved January 13, 2019,
from
http://mathnewblog.blogspot.com/2015/12/tokoh-besar-dalam-filsafat-matematika.html
Sumardyono. (2004). Karakteristik Matematika dan
Implementasinya Terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Depdiknas.
Adjie, D. (2013). Dimas Adjie Post. Retrieved January 1,
2019, from
https://dimasadji4.wordpress.com/2013/07/08/persoalan-matematika-yang-belum-terpecahkan/
Ambar. (2011). No Title. Retrieved January 12, 2019, from
https://www.google.com/search?safe=strict&rlz=1C1XBRQ_enID810ID810&biw=1366&bih=626&tbm=isch&sa=1&ei=6Tg7XJzfGsyw9QPcv5rYDA&q=timeline+sejarah+matematika&oq=timeline+sejarah+matematika&gs_l=img.3...6944.11526..12044...1.0..0.225.1389.3j8j1......1....1..gws-wiz-img.CECa0eYTcwY#imgrc=gV8I_jCrv2oHYM:
Apaperbedaan.com. (2017). Apa Perbedaan Ilmu dan Pengetahuan.
Retrieved January 5, 2019, from https://apaperbedaan.com/ilmu-dan-pengetahuan/
Bird, A. (1998). Philosophy of Science. University
College London: UCL Press.
Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive
Psychology and instruction (Fifth). Boston: Pearson Education.
Carpi, A & Egger, A. E. (2011). “The Nature of Scientific
Knowledge” Visionlearning. 3 (2). Science: definition of science in Mirriam
Webster Online Dictionary. https://doi.org/https://www.merriam-
webster.com/dictionary/science?utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld
CMI. (2019). Millennium Problems. Retrieved January 5, 2019,
from http://www.claymath.org/millennium-problems
Gerakan Menulis Buku Indonesia. (2018). Perkembangan
Kurikulum di Indonesia hingga Kurikulum 2013 (K13). Retrieved January 5, 2019,
from
https://gmb-indonesia.com/2018/05/20/perkembangan-kurikulum-di-indonesia-hingga-kurikulum-2013-k13/
Hasrattudin. (2008). Permasalahan Pembelajaran Matematika
Sekolah dan Alternatif Pemecahannya. Pythagoras, UNY, 4(1),
67–73.
Herman, T. (2011). Membangun Pengetahuan Siswa Melalui
Pembelajaran Berbasis Masalah.
Kurniaman, O., & Noviana, E. (2017). Penerapan Kurikulum
2013 Dalam Meningkatkan Keterampilan, Sikap, dan Pengetahuan. Jurnal Primary
, UNRI, 6(2), 389–396.
Malicha, L. N. (2018). Hakikat Ilmu dan Pengetahuan. Research
Gate, (August).
Marsigit. (2012). Sejarah Dan Filsafat Matematika.
Yogyakarta. Retrieved from http://staffnew.uny.ac.id/upload/131268114/pengabdian/sejarah-dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012.pdf
Marsigit. (2013). Philosophy, Psychology, Spiritual, Math
Education, Lesson Study, Indonesia: Prof Dr Marsigit MA. Retrieved January 5,
2019, from https://powermathematics.blogspot.com
Mirriam Webster Dictionary. (2019). Mirriam Webster.
Retrieved January 5, 2019, from
webster.com/dictionary/science?utm_campaign=sd&utm_medium=serp&utm_source=jsonld
Nuriasih Lia. (2012). KuPakaiMathUntukBerhitung. Retrieved
January 7, 2019, from
http://ku-mathitung.blogspot.com/p/sejarah-matematika.html
Perry, N., Turner, J, C., & Meyer, D. (2006). Classroom
as Context for Motivating Learning. Mahwah: Erlbaum.
Saroh, M. (2013). Analisis Buku BSE-Matematika Kelas VII.
Slameto. (2003). Belajar dan Faktor-Faktor yang
Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta.
Soedjadi, R. (2001). Nilai Nilai dalam Pendidikan
Matematika dan Upaya Pembinaan Pribadi Anak Didik. Surabaya: Unesa.
Sridayani. (2015). Matematika. Retrieved January 13, 2019, from
http://mathnewblog.blogspot.com/2015/12/tokoh-besar-dalam-filsafat-matematika.html
Sumardyono. (2004). Karakteristik Matematika dan
Implementasinya Terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Depdiknas.
